数学真是一个奇怪的东西，我们早就知道了各种美妙的数学思想，以及抽象美带来的震撼。前两天，我看到一个关于数学命题证明的小故事，再一次地刷新了我对于数学思想的认识。
我们都知道，数学证明中有一种方法叫反证法，就是通过是否能找出一个反例，来证明一个命题的正确性。但是，这次说的是，我们找不到反例，但依然能够用反证法来证明一个命题。我简单地描述一下这个命题，然后用我自己理解的方式来讲述一下这个证明过程（如果证明错了，责任全在我，原来的数学思想应该是正确的 😉）
命题 #
请判断并证明：一个无理数的无理数次幂，一定是无理数。
解释 #
无理数就是无限不循环小数，比如 \(\pi\), \(e\), ……, 等等。由于无理数无法精确得到所有数值，所以一个无理数的无理数次幂，除了少数情况外，是无法准确得到所有数值的。比如，\(\pi^{\pi}\)，它的前 30 位数值是：36.4621596072079117709908260227。我们根本无法从中判断，最后的数值是否是一个有理数，还是仍然为无理数。
证明 #
我们用反证法来证明此命题，即假设原命题是成立的。
首先，我们构造一个无理数的无理数次幂： \(x = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\), 这个数值有两种情况：
- \(x\) 为有理数
- \(x\) 为无理数
对于结果 1，那命题当然就错了，因为我们找到了一个无理数的无理数次幂为有理数。我们用反证法来判断情况 2，我们继续构造一个新的数： \(y = x^{\sqrt{2}}\), 运算可得：
\(y = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}^2 = 2 \)
由于 \(x\) 为无理数，根据假设，\(y\) 也应该是无理数，但现在我们得到了一个有理数 \(2\)，所以假设不成立，结论应该是，无理数的无理数次幂，不一定是无理数。
说明 #
这里，最奇妙的就是，我们虽然构造了一个无理数的无理数次幂：\(\sqrt{2}^{\sqrt{2} }\)，但是我们并没有实际求出来这个数，也完全没有证明，这个数到底是无理数还是有理数。也就是说，我们用了反证法，但是并没有实际找到一个反例，就证明了原来的命题不成立。
啊，多么奇妙的数学思想啊。
P.S. #
大家可能有点好奇，到底 \(\sqrt{2}^{\sqrt{2} }\) 是不是有理数啊。我用心爱的 Wolfram 计算了一下前 1000 位数值，你们猜，它到底是不是有理数？😜
\(\sqrt{2}^{\sqrt{2} } = \)
1.632526919438152844773495381024719602079108857053
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